2.86295 + 3.22327 i

[sheldonison]

Hi Sheldon - thanks for your remarks! Unfortunately I seem to have been "out-of-subject" ;-) too long: I don't get the relation of your graphic with the problem of zeros of z^z - z. Could you please explain further?

Hi Gottfried,

I only made a Kneser complex plane graph for one tetration base; B=2.8630+3.2233*I; although I observed that the next two examples also converged in fatou.gp and would allow for similar graphs.  

I also observed that these examples have the base as a different repelling fixed point from the fixed points used by Kneser's algorithm.  The complex plane plot is a pretty picture showing different approaches to near the fixed point of B.  Here is the path from the Kneser lower fixed point of -0.504189-1.082018*I iterating towards the B since sexp(2.5) gets very close to zero after sexp(1.5) gets large and negative.

Code:

 n;sexp(n) real             imag
  -10.50 -0.506879459669 -1.081547675946*I
   -9.50 -0.503719166668 -1.076547203763*I
   -8.50 -0.493149637885 -1.081945538564*I
   -7.50 -0.501967307955 -1.104327690008*I
   -6.50 -0.549186543972 -1.089827111759*I
   -5.50 -0.525023017294 -0.995149128209*I
   -4.50 -0.345334360865 -1.019099153870*I
   -3.50 -0.297562306319 -1.396335887620*I
   -2.50 -1.389515585126 -1.581602966335*I
   -1.50 -0.470176399198  0.167876843684*I
   -0.50  0.431553569486 -0.066007303590*I
    0.50  1.915502539029  0.526030319479*I
    1.50 -7.670428285966  7.221368273487*I  negative value
    2.50 -0.000000018154 -0.000000024463*I  close to zero
    3.50  0.999999994134 -0.000000051078*I  close to 1
    4.50  2.862954491212  3.223273719942*I  close to B;
    5.50  2.862955485181  3.223276200105*I
    6.50  2.862939259644  3.223286908820*I
    7.50  2.862839224324  3.223186906491*I
    8.50  2.863405711080  3.222327752266*I
    9.50  2.870363720892  3.225107746164*I  each iterations is
   10.50  2.860449530266  3.279014376166*I  less close to B

Here is another example showing superexponential growth leading to the B fixed point
n;sexp(n) real             imag
  -10.80 -0.506711953156 -1.082462980055*I
   -9.80 -0.505520576103 -1.077039610068*I
   -8.80 -0.494475720250 -1.078444858441*I
   -7.80 -0.495122081123 -1.100923128257*I
   -6.80 -0.541277048292 -1.103507639857*I
   -5.80 -0.550805490837 -1.011174310369*I
   -4.80 -0.381693338778 -0.978549052364*I
   -3.80 -0.236035997893 -1.286771958363*I
   -2.80 -1.022818800959 -1.833802406278*I
   -1.80 -0.971588970934  0.412810040788*I
   -0.80  0.166605373584 -0.036790753518*I
    0.20  1.310922364180  0.114265817726*I
    1.20  1.802771756084  5.896405085981*I
    2.20 -0.072428251453 -0.062705439536*I
    3.20  0.937447648141 -0.144360980939*I
    4.20  3.715993464216  2.438657532303*I
    5.20 26.577478568061 11.819890866600*I
    6.20  -1466498688753   3060160492434*I ** very large magnitude
    7.20  0.000000000000  0.000000000000*I ** extremely tiny magnitude
    8.20  1.000000000000  0.000000000000*I
    9.20  2.862954135717  3.223273836391*I ** extremely close to B
   10.20  2.862954135717  3.223273836391*I ...
...
A third example, from the upper Kneser fixed point; 0.23429+0.725944*I
 -10.50+0.30*I  0.292621589856  0.716091362119*I
  -9.50+0.30*I  0.229318668308  0.805625645051*I
  -8.50+0.30*I  0.140622561439  0.693906067361*I
  -7.50+0.30*I  0.289947230263  0.618938924348*I
  -6.50+0.30*I  0.370576060735  0.826423265101*I
  -5.50+0.30*I  0.042962728865  0.854091637519*I
  -4.50+0.30*I  0.146280541766  0.496511638703*I
  -3.50+0.30*I  0.537929795299  0.611163100699*I
  -2.50+0.30*I  0.290263780298  1.277238365086*I
  -1.50+0.30*I -0.267476739709  0.445564945926*I
  -0.50+0.30*I  0.423002091636  0.191529687303*I
   0.50+0.30*I  1.268662282738  0.938873534671*I
   1.50+0.30*I -2.212727431327  1.857262524570*I
   2.50+0.30*I  0.005451966339  0.006145429371*I  close to zero, but not that close
   3.50+0.30*I  1.002687766483  0.013621434548*I
   4.50+0.30*I  2.769720532534  3.261156764762*I  unstable approach to fixed point of B
   5.50+0.30*I  2.482695908749  2.666868294719*I
   6.50+0.30*I  3.792132767998 -1.130095791095*I
   7.50+0.30*I 12.925015630715 662.01740679844*I
   8.50+0.30*I  0.000000000000  0.000000000000*I  extremely close to zero now
   9.50+0.30*I  1.000000000000  0.000000000000*I
  10.50+0.30*I  2.862954135717  3.223273836391*I  extremely close to B

Here are the values for Kneser's tetration for B=2.8630+3.2233*I at the real axis

Code:

n;sexp(n)  real            imag
 -1.95  -1.68863033100   0.80749681432*I
 -1.90  -1.33183739912   0.60771306027*I
 -1.85  -1.12187088481   0.49293340464*I
 -1.80  -0.97158897093   0.41281004079*I
 -1.75  -0.85368869801   0.35158089365*I
 -1.70  -0.75601053277   0.30223718788*I
 -1.65  -0.67206743302   0.26104970510*I
 -1.60  -0.59798462846   0.22580024594*I
 -1.55  -0.53125894475   0.19506474235*I
 -1.50  -0.47017639920   0.16787684368*I
 -1.45  -0.41350887904   0.14355282012*I
 -1.40  -0.36034335168   0.12159308516*I
 -1.35  -0.30997964615   0.10162337348*I
 -1.30  -0.26186618415   0.08335787988*I
 -1.25  -0.21555788662   0.06657524687*I
 -1.20  -0.17068763255   0.05110242206*I
 -1.15  -0.12694631651   0.03680352807*I
 -1.10  -0.08406853793   0.02357203679*I
 -1.05  -0.04182208027   0.01132519101*I
 -1.00  -0.00000000000   0.00000000000*I
 -0.95   0.04158545142  -0.01044962968*I
 -0.90   0.08310759688  -0.02005491968*I
 -0.85   0.12472915581  -0.02883359692*I
 -0.80   0.16660537358  -0.03679075352*I
 -0.75   0.20888664016  -0.04391927640*I
 -0.70   0.25172073041  -0.05019990162*I
 -0.65   0.29525476327  -0.05560092452*I
 -0.60   0.33963695198  -0.06007757813*I
 -0.55   0.38501819829  -0.06357107630*I
 -0.50   0.43155356949  -0.06600730359*I
 -0.45   0.47940368417  -0.06729512052*I
 -0.40   0.52873602250  -0.06732423809*I
 -0.35   0.57972616535  -0.06596260063*I
 -0.30   0.63255895544  -0.06305319831*I
 -0.25   0.68742955963  -0.05841021138*I
 -0.20   0.74454439500  -0.05181436430*I
 -0.15   0.80412185886  -0.04300734123*I
 -0.10   0.86639277455  -0.03168508107*I
 -0.05   0.93160042577  -0.01748973207*I
 -0.00   1.00000000000  -0.00000000000*I
  0.05   1.07185719071   0.02128042978*I
  0.10   1.14744561154   0.04693677824*I
  0.15   1.22704254441   0.07765981927*I
  0.20   1.31092236418   0.11426581773*I
  0.25   1.39934673899   0.15772037159*I
  0.30   1.49255037217   0.20916684954*I
  0.35   1.59072059952   0.26996017715*I
  0.40   1.69396854036   0.34170674594*I
  0.45   1.80228866766   0.42631115941*I
  0.50   1.91550253903   0.52603031948*I
  0.55   2.03318092557   0.64353488562*I
  0.60   2.15453658025   0.78197722461*I
  0.65   2.27827728009   0.94506332647*I
  0.70   2.40240544403   1.13712333668*I
  0.75   2.52394651318   1.36317064654*I
  0.80   2.63858347989   1.62893181732*I
  0.85   2.74016991978   1.94081738839*I
  0.90   2.82008979925   2.30578450717*I
  0.95   2.86643179940   2.73101309925*I
  1.00   2.86295413572   3.22327383639*I
  1.05   2.78784271893   3.78780391346*I
  1.10   2.61232867553   4.42642243211*I
  1.15   2.29936076494   5.13451386397*I
  1.20   1.80277175608   5.89640508598*I
  1.25   1.06780346359   6.67861653316*I
  1.30   0.03454216886   7.42061697158*I
  1.35  -1.35319024000   8.02333254654*I
  1.40  -3.12976426085   8.33725374335*I
  1.45  -5.27598852788   8.15529704969*I
  1.50  -7.67042828597   7.22136827349*I
  1.55 -10.02727185109   5.27358377649*I
  1.60 -11.84180728392   2.14738517285*I
  1.65 -12.39732407235  -2.04413877023*I
  1.70 -10.92658217465  -6.68238131631*I
  1.75  -7.02079353295 -10.50925017693*I
  1.80  -1.23729536683 -11.87489146526*I
  1.85   4.51097059951  -9.63931846573*I
  1.90   7.57231949664  -4.46025989870*I
  1.95   6.51285965985   0.83938812900*I
  2.00   2.86295413572   3.22327383639*I
  2.05  -0.08438487542   2.39664112407*I
  2.10  -0.79125260624   0.73812821547*I
  2.15  -0.37658292709  -0.00741162857*I
  2.20  -0.07242825145  -0.06270543954*I
  2.25  -0.00555783783  -0.01596744417*I
  2.30  -0.00024564577  -0.00198110359*I
  2.35  -0.00006363357  -0.00014456247*I
  2.40  -0.00000897682  -0.00000103207*I
  2.45   0.00000017541   0.00000042293*I
  2.50  -0.00000001815  -0.00000002446*I
  2.55   0.00000000365  -0.00000000348*I
  2.60   0.00000000417  -0.00000000273*I
  2.65   0.00000004799  -0.00000005931*I
  2.70   0.00003255138  -0.00000467397*I
  2.75  -0.19083642620  -0.16260934798*I
  2.80      3342.49191        1626.90264
  2.85  -1649460.56280     1879827.35811
  2.90   2741567.93502     -336941.79584
  2.95      6038.48545        2869.75907
  3.00   2.86295413572   3.22327383639*I
  3.05  -0.11194644361  -0.03329948248*I
  3.10   0.15470908504   0.06729995089*I
  3.15   0.54931374228  -0.18745793586*I
  3.20   0.93744764814  -0.14436098094*I
  3.25   1.00498348625  -0.02817250887*I
  3.30   1.00131021153  -0.00310632732*I
  3.35   1.00002907124  -0.00026498357*I
  3.40   0.99998775469  -0.00000908916*I
  3.45   0.99999989914   0.00000076612*I
  3.50   0.99999999413  -0.00000005108*I
  3.55   1.00000000827  -0.00000000201*I
  3.60   1.00000000840  -0.00000000047*I
  3.65   1.00000012021  -0.00000004613*I
  3.70   1.00005151265   0.00002066212*I
  3.75   0.79992815390  -0.33704771994*I
 3.80  -1.91323 E1524 - 1.75181 E1524*I  really huge magnitude ...